Themelues i Logjikës matematikore konsiderohet matematikani anglez George Boole kuptimet e para të logjikës formale i kanë dhënë grekët e vjetër me përfaqësuesin kryesor të saj Aristotelin. Logjika matematikore lindi nga nevoja e eliminimit të kundërthënieve dhe paradokseve që u paraqitën në teorinë e bashkësive poashtu ajo ka luajtur një rol të veçantë në lindjen e disa lëmive të reja të matematikës bashkohore. Kjo degë përsosi simbolet e deriatëhershme dhe e plotësoi me simbole të reja gjuhën simbolike.
Permbajtja:
1 Gjykimet
2 Operacione themelore logjike
3 Ligjet e logjikes matematikore quhen edhe tautologji
4 Kuantifikatorët
5 Simbolet matematikore
Gjykimet
Gjykimi ( pohimi ), është koncept themelor në Logjikën matematikore. Në aspektin e saktësisë gjykimi i nënshtrohet ligjit të përjashtimit të së tretës dhe merr vetëm njërën nga vlerat i saktë ose jo i saktë (true ose false). p.sh. gjykime janë fjalitë: " Wikipedia nuk është e shkruar në gjuhen shqipe ", " 1+1=1 " ( këto pohime në logjikën matematikore mirren si gjykime ) jo të sakta, sepse " Tani unë po e lexojë këtë artikull të shkruar në gjuhen shqipe " dhe " 1+1=2 " janë gjykime të sakta. Vetitë i saktë dhe jo i saktë quhen vlera të saktësisë së gjykimit dhe shënohen me simbolet T (lexo: te) dhe (lexo: jo te). Simboli " T " është i ngjashëm me germën e parë të fjalës angleze True=i (e) saktë. Emërtimi i gjykimeve zakonisht bëhet me germat e vogla të alfabetit, si p, q, r, ... dhe trajtohen si variabla gjykimesh, ndërsa vlerat e tyre shënohen me : v(p), v(q), v(r), ... dhe janë konstante. Mirëpo për thjeshtësi vlerat e gjykimeve shkruhen vetëm me emërtimin e gjykimit.
Fjalia e cila ka njërën nga e vlerat saktësisë- e saktë ose jo e saktë- quhet gjykim
Pohimit " Wikipedia nuk është e shkruar në gjuhen shqipe " kur të i japim njërën nga vlerat e saktësisë- e saktë ose jo e saktë- quhet gjykim. Mirëpo në matematikë përpos këtyre gjykimeve kemi edhe gjykime të hapura si p.sh Wikipedia do të ketë 1000 artikuj në vitin 2000+x " ose " 10+x=200 ", etj. . Varrësisht prej vlerës së variabilës x të cilës i japim (nëse shkruajmë më shumë artikuj viti 2005, x=5) vlera konkrete, gjykimet do jenë të sakta ose jo të sakta. Metoda e shëndrrimit të një pohimi të tillë në gjykim quhet metoda e zëvendësimit (metoda e substitucionit).
gjykim i përbërë quhet gjykimi i cili fitohet kur dy gjykime të thjeshta i lidhim me lidhëzat ,, dhe,, ose,, etj.
Operacione themelore logjike
tabelat e saktësisë
Më lartë përmendem gjykimet e përbëra të cilat përbëhen nga gjykimet e thjeshta. Mirë, po me ç`ka lidhen ato në mes veti dhe si janë mardhënjet e tyre?
Gjykimet matematike lidhen me lidhëzat sikurse pohimet në gjuhën që e përdorim. Në matematike këto fjalë lidhëse "jo",
"dhe", "ose", "nëse ...", "atëherë ...", "atëherë dhe vetëm atëherë", quhen operacione themelore logjike .(lidhëza ani nashtë është palidhje). Në bazë të operatorit ( lidhëses) dallojmë këto operacione :
Mohimi (jo)
Konjukcioni (dhe)
Disjunkcioni (ose)
Implikimi (nëse ... atëherë ...)
Ekuivalenca (nëse dhe vetëm nëse)
Ligjet e logjikes matematikore quhen edhe tautologji
p.sh:
ligji i kontrapozicionit
ligji i përjashtimit të së tretës
silogjizmi
Kuantifikatorët
Kuantifikatorët japin vlera të caktuara të cilat zëvëndësojnë variablat në gjykimin e dhënë
Nocionet dhe simbolet matematikore
Janë shprehjet matematikore (psh. emrat e numrave, figurave, operacioneve), shprehjet për marrëdhënie në mes të sasive (më i madh, më i vogël, i barabartë), simbolizmin matematikor (psh. 4+3 = 7), konventat matematikore (psh. njësitë standarde të matjes, nderimi i përparësisë së operacioneve), rezultatet dhe formulat e caktuara (memorimi i llogarisë, psh.6 + 6, për të njehsuar 6 + 7; njohja e formulës për sipërfaqen e katrorit; teorema e Pitagorës).[1]
Konceptet matematikore
Konceptet dhe strukturat themelore matematikore, jo vetëm si njësi të posaçme, por edhe në ndërlidhje me koncepte dhe struktura tjera matematikore. Asnjëri prej koncepteve matematikore që shtjellohet nuk na »paraqitet« vet për vete. Kështu, koncepti i shumëzimit është i lidhur me konceptin e mbledhjes, kurse koncepti i pjesëtimit me zbritje.
Konceptet dhe strukturat le të shqyrtohen edhe në kontekst të njohurive dhe ambienteve tjera matematikore dhe jashtëmatematikore si dhe në situata të ndryshme mësimore.[1]
Logjika matematikore
Themelues i Logjikës matematikore konsiderohet matematikani anglez George Boole kuptimet e para të logjikës formale i kanë dhënë grekët e vjetër me përfaqësuesin kryesor të saj Aristotelin. Logjika matematikore lindi nga nevoja e eliminimit të kundërthënieve dhe paradokseve që u paraqitën në teorinë e bashkësive poashtu ajo ka luajtur një rol të veçantë në lindjen e disa lëmive të reja të matematikës bashkohore. Kjo degë përsosi simbolet e deriatëhershme dhe e plotësoi me simbole të reja gjuhën simbolike.
Gjykimet
Gjykimi ( pohimi ), është koncept themelor në Logjikën matematikore. Në aspektin e saktësisë gjykimi i nënshtrohet ligjit të përjashtimit të së tretës dhe merr vetëm njërën nga vlerat i saktë ose jo i saktë (true ose false). p.sh. gjykime janë fjalitë: " Wikipedia nuk është e shkruar në gjuhen shqipe ", " 1+1=1 " ( këto pohime në logjikën matematikore mirren si gjykime ) jo të sakta, sepse " Tani unë po e lexojë këtë artikull të shkruar në gjuhen shqipe " dhe " 1+1=2 " janë gjykime të sakta. Vetitë i saktë dhe jo i saktë quhen vlera të saktësisë së gjykimit dhe shënohen me simbolet T (lexo: te) dhe (lexo: jo te). Simboli " T " është i ngjashëm me germën e parë të fjalës angleze True=i (e) saktë. Emërtimi i gjykimeve zakonisht bëhet me germat e vogla të alfabetit, si p, q, r, ... dhe trajtohen si variabla gjykimesh, ndërsa vlerat e tyre shënohen me : v(p), v(q), v(r), ... dhe janë konstante. Mirëpo për thjeshtësi vlerat e gjykimeve shkruhen vetëm me emërtimin e gjykimit.
Fjalia e cila ka njërën nga e vlerat saktësisë- e saktë ose jo e saktë- quhet gjykim
Pohimit " Wikipedia nuk është e shkruar në gjuhen shqipe " kur të i japim njërën nga vlerat e saktësisë- e saktë ose jo e saktë- quhet gjykim. Mirëpo në matematikë përpos këtyre gjykimeve kemi edhe gjykime të hapura si p.sh Wikipedia do të ketë 1000 artikuj në vitin 2000+x " ose " 10+x=200 ", etj. . Varrësisht prej vlerës së variabilës x të cilës i japim (nëse shkruajmë më shumë artikuj viti 2005, x=5) vlera konkrete, gjykimet do jenë të sakta ose jo të sakta. Metoda e shëndrrimit të një pohimi të tillë në gjykim quhet metoda e zëvendësimit (metoda e substitucionit).
gjykim i përbërë quhet gjykimi i cili fitohet kur dy gjykime të thjeshta i lidhim me lidhëzat ,, dhe,, ose,, etj.
Operacione themelore logjike
Më lartë përmendem gjykimet e përbëra të cilat përbëhen nga gjykimet e thjeshta. Mirë, po me ç`ka lidhen ato në mes veti dhe si janë mardhënjet e tyre?
Gjykimet matematike lidhen me lidhëzat sikurse pohimet në gjuhën që e përdorim. Në matematike këto fjalë lidhëse "jo",
"dhe", "ose", "nëse ...", "atëherë ...", "atëherë dhe vetëm atëherë", quhen operacione themelore logjike .(lidhëza ani nashtë është palidhje). Në bazë të operatorit ( lidhëses) dallojmë këto operacione :
Analiza matematike
Analiza matematike është një studim rigoroz llogaritjesh. Një njehsim i tillë mund të mendohet si matematika e të pafundmeve, e si e tillë Analiza Matematike shpesh renditet si një nga arritjet më të mëdha, më të fuqishme dhe nga krijimet më të thella të mendjes njerëzore. Njehsimi diferencial përfshin një periudhë gati 2500 vjeçare, duke filluar me Pitagorën, deri sa vijmë në shekullin e nëntëmbëdhjetë kur u hodhën bazat e para reale e të qëndrueshme të njehsimit diferencial. Gjatë shekujve shtatëmbëdhjetë dhe tetëmbëdhjetë njehsimi diferencial mori një zhvillim të madh duke u bërë një mjet i fuqishëm për të përshkruar fenomenet e fizikës, lëvizjen e planetëve, lëvizjet valore, si dhe ligjet e elektrodinamikës. Kjo periudhë karakterizohet nga një emergjencë e pothuajse te gjitha koncepteve me të cilët ndeshemi sot në çdo tekst të njehsimit diferencial.
Por nëse njehsimi diferencial filloi të marrë jetë në shekujt e XVII dhe XVIII, ai hodhi rrënjë të forta dhe pësoi një revolucion të vërtetë gjatë shekullit të XIX, gjatë të cilit u shfaqën idetë e tij bazë dhe që për herë të parë u kuptua ashtu siç duhej. Gjatë kësaj periudhe teoria e njehsimit diferencial u rishkrua prej një grupi te vogël matematikanësh, ndërmjet te cilëve ishte Bolzano, Cauchy, Veierstrasi, Dedekindi dhe Cantori. Janë ata qe bene atë qe sot njihet si Analiza Matematike. Puna e tyre na jep ne mundësitë qe te kemi një kuptim solid për konceptin e limitit, vazhdueshmerise, derivatit dhe integralit.
Thu Mar 24, 2011 1:47 am